Question

在圆柱OO′中，△ABC是其下底面的内接正三角形，B₁、C₁是其上底面的两点，且B₁B⊥平面ABC，C₁C⊥平面ABC．已知AB=2，AB₁=4．
（1）求几何体ABB₁C₁C与圆柱OO'的体积之比；
（2）当点D是AC中点时，证明：AB₁∥平面BDC₁，并求二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer

（1）由B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，知B1B⊥AB．在Rt△ABB1中，AB=2，AB1=4，故，作AM⊥BC于M，在正△ABC中，AM=，底面半径，，，由此能求出几何体ABB1C1C与圆柱OO'的体积之比．
（2）连接B1C交BC1于点E，连接DE．于是E为B1C的中点，而D为AC中点，DE∥AB1，由此能够证明AB∥平面BDC1．以B为原点，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则，，得到平面BDC1的法向量，，平面BCC1的法向量，由此能求出二面角D-BC1-C的余弦值．
【解析】
（1）∵B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴B1B⊥AB．
在Rt△ABB1中，AB=2，AB1=4，
∴，
作AM⊥BC于M，
在正△ABC中，AM=，
∴底面半径，，
∵，
∴几何体ABB1C1C与圆柱OO'的体积之比：
=．
（2）连接B1C交BC1于点E，连接DE．
于是E为B1C的中点，
而D为AC中点，
∴DE是△AB1C的中位线，
∴DE∥AB1，
∵DE⊂平面BDC1，AB⊄平面BDC1，
∴AB∥平面BDC1．
以B为原点，BC为y轴，BB1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），D（），，
∴，，
设为平面BDC1的法向量，
则，∴∴，
∵平面BCC1的法向量，
设二面角D-BC1-C的平面角为θ，
则cosθ==．