Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer

（1）由题意可知，设P（x，y），则可得，
，代入向量的数量积可得=，由二次函数的性质可求
（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），联立消去y整理可得（1+4k2）x2=4，解方程可求x1，x2
根据点到直线的距离公式可求，点E，F到直线AB的距离h1，h2，代入四边形AEBF的面积为S=，结合基本不等式可求面积的最大值
【解析】
（1）由题意可知a=2，b=1，
∵c==
∴，设P（x，y）
∴，
=x2+y2-3（3分）
==
由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴0≤x2≤4，
∴
故-21（5分）
（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），联立消去y整理可得（1+4k2）x2=4
∴（7分）
∵A（2，0），B（0，1）
∴直线AB的方程为：x+2y-2=0
根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为
=（8分）
=
∴（9分）
∴|AB|=
∴四边形AEBF的面积为S===（10分）

=（当且仅当4k=即k=时，上式取等号，所以S的最大值为2（12分）