(1)要证A1B⊥CE,应通过证明CE⊥侧面AB1得出.由直棱柱 的性质易证.
(2)取A1B1的中点E1,则C1E1⊥平面ABB1A1,连接E1F,∠C1FE1为C1F与侧面ABB1A1所成角,在直角三角形C1E1F中 求解即可.
(3)容易得知EF∥A1B,∠C1FE是异面直线A1B与C1F所成角(或补角),解三角形C1FE即可.
【解析】
(1)因为直三棱柱,所以侧面AB1⊥底面ABC
又因为底面△ABC为等腰直角三角形,E是斜边AB的中点
所以CE⊥AB,所以CE⊥侧面AB1,而A1B⊂侧面AB1,所以A1B⊥CE----(4分)
(2)取A1B1的中点E1,则C1E1⊥平面ABB1A1,连接E1F
∴∠C1FE1为C1F与侧面ABB1A1所成角-------------(6分)
在直角三角形C1E1F中,C1E1==2,,
∴
C1F与侧面ABB1A1所成角的正切值为.-----------(8分)
(3)因为E是AB的中点,F是AA1的中点,所以EF∥A1B,
即∠C1FE是异面直线A1B与C1F所成角(或补角)-----(10分)
,
∴C1E2=EF2+C1F2,∴∠C1FE=90°
即异面直线A1B与C1F成90角.-------(13分)