Question

在长方形AA₁B₁B中，AB=2A₁=4，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点（如图）．将此长方形沿CC₁对折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如图），已知D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-A₁BE的体积．

Answer

（1）取A1B的中点F，连接DF，EF，由三角形中位定理，结合E是CC1的中点，可证得四边形C1EFD是平行四边形，进而C1D∥EF，由线面平行的判定定理得到C1D∥平面A1BE；
（Ⅱ）由CC1⊥A1C1，CC1⊥B1C1，可由线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1C1B1．进而由线面垂直的第二判定定理得到BB1⊥平面A1C1B1，则BB1⊥C1D，由等腰三角形三线合一可得C1D⊥A1B1，结合线面垂直的判定定理得到C1D⊥平面AA1B1B，结合（I）中EF∥C1D，可得EF⊥平面AA1B1B，最后由面面垂直的判定定理得到平面A1BE⊥平面AA1B1B
（Ⅲ）由已知可证得BC⊥平面A1EC1，即BC为三棱锥C1-A1BE的以△A1EC1为底面时的高，求出高及底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．
证明：（Ⅰ）取A1B的中点F，连接DF，EF．（1分）
因为D，F分别是A1B1，A1B的中点
所以DF是△A1BB1的中位线．（2分）
所以DF∥BB1∥CC1，且．
又因为E是CC1的中点，
所以．
所以DF∥C1E，且DF=C1E．
所以四边形C1EFD是平行四边形．（3分）
所以C1D∥EF．
又EF⊂平面A1BE，C1D⊄平面A1BE，（4分）
所以C1D∥平面A1BE．（5分）
（Ⅱ）因为CC1⊥A1C1，CC1⊥B1C1，且A1C1∩B1C1=C1，
所以CC1⊥平面A1C1B1．
因为BB1∥CC1，所以BB1⊥平面A1C1B1．
因为C1D⊂平面A1C1B1，所以BB1⊥C1D．（6分）
又因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1．（7分）
因为A1B1∩BB1=B1，所以C1D⊥平面AA1B1B．（8分）
由（Ⅰ）知EF∥C1D，
所以EF⊥平面AA1B1B．
又因为EF⊂平面A1BE，
所以平面A1BE⊥平面AA1B1B．（10分）
【解析】
（Ⅲ）由已知，长方形AA1B1B沿CC1对折后AC=BC=2，．
所以AB2=AC2+BC2．
所以BC⊥AC，且BC⊥CC1，AC∩CC1=C．
所以BC⊥平面AA1C1C．
即BC⊥平面A1EC1．（11分）
所以．（12分）
其中．
所以．（13分）