Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x）+f（x-1）=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，现有四个命题：
①f（x）是周期函数；且周期为2；②当x∈[1，2]时，f（x）=2x-x²；③f（x）是偶函数；④
其中正确命题是    ．

Answer

根据周期函数的定义及已知中f（x）+f（x-1）=1恒成立，可判断①真假；根据f（x）+f（x-1）=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x2，可判断②的真假；根据偶函数的定义及f（x）+f（x-1）=1，可以判断③真假，根据①②的结论，可以判断④真假．进而得到答案．
【解析】
∵f（x）+f（x-1）=1，
∴f（x+2）+f（x+1）=1，即f（x+2）+[1-f（x）]=1
∴f（x+2）=f（x），故①f（x）是周期函数，且周期为2，正确；
当x∈[1，2]时，x-1∈[0，1]
f（x-1）=1-f（x）=1-（x-1）2，
∴f（x）=2x-x2，故②正确；
当x=时，f（）=，f（-）=f（）=
由偶函数的定义，可得③错误；
f（-2004.5）=f（-）=f（）=
故④正确；
故答案为：①②④．