Question

已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．
（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；
（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．

Answer

（1）由椭圆E的离心率为，知a=2k，c=，b2=2k2，即椭圆E：，把点代入得k2=2，由此能求出椭圆E方程和圆的方程．
（2）椭圆E的右准线l的方程为x=4．设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M，所以NQ2=λNM2，λ是正的常数（λ≠1），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0）．由此入手能够导出点Q在圆心，0，半径为的定圆上．定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上．
（1）【解析】
∵椭圆E：的离心率为，
∴a=2k，c=，b2=2k2，
∴椭圆E：，
把点代入得k2=2，
∴椭圆E方程：．
圆的方程：x2+y2=4
（2）证明：椭圆E的右准线l的方程为x=4．
设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．
因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M，所以NQ2=λNM2，λ是正的常数（λ≠1），即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，即x2 0+y2 0-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x2 0+y2 0+16+t2-8x0-2ty0）．
将x2 0+y2 0=4代入，有-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ．
又有无数组（x0，y0），从而x=4λ，①y=tλ，②x2+y2+4=（20+t2）λ．③
由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2-（20+t2）λ+4=0，所以（λ-1）[（16+t2）λ-4]=0．
又因为λ≠1，所以λ=，即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值．
将16+t2=代入③，得x2+y2+4=+4λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即x-2+y2=，故点Q在圆心，0，半径为的定圆上．
定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上