Question

选做题A．平面几何选讲
过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，
证明：．
B．矩阵与变换（10分）
已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
C．坐标系与参数方程
已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线上的动点，试求线段AB长的最大值．D．不等式选讲
已知m，n是正数，证明：≥m²+n²．

Answer

A、由题意过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，只要证明△ATN∽△APT和△ASN∽△APS，利用比例关系即可证明；
B、利用旋转变换公式直接代入即可得变换的逆变换的矩阵；
C、先将曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线上的动点，化为一般方程 x2+（y-6）2=62，然后利用圆的几何关系进行求解；
D、不等式两边同乘mn，然后利用作差法进行化简求解；
【解析】
A、∵AT为圆O的切线，
∴∠ATP=∠ANT，∵∠APN=∠PTN+∠ANT，∠ATN=∠ATP+∠PTN，
∴∠ATN=∠APT，∴△ATN∽△APT，∴，
∴同理可得△ASN∽△APS，∴，
∴===即证；
B、这个变换的逆变换是关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转变换，其矩阵为
=
C、∵ρ=12sinθ∴ρ2=12ρsinθ  可化为：x2+y2=12y，∴x2+（y-6）2=62
是以（0，6）为圆心 半径是6的圆．设圆心为O1
同理 ρ=12cosθ   x2+y2=12x  是以（6，0）为圆心，半径为6的圆  
而ρ=12cos（θ-）相当于把坐标轴逆时针旋转了 就是30度．
把圆心从极坐标θ=0旋转到了θ=，圆心到原点距离仍然是6．
可得圆心坐标是（3，3）记为O2
把O1，O2的连线，和圆A，圆B分别交于D，E
容易求出它们位置是 D（-3，9）E（6，0）且O1在圆B上，O2在圆A上
那么DE是就是AB的最大值，
假设圆B上不同于E点的另一点F．
则 O1F＜O1E （O1E是圆B的直径）  
所以AF=O1F+R=O1F+6＜O1E+6=12+6=18
就是Q点只能取点E，才能让AB取最大值18．此时A也只能在D点．
因为任何圆P上非D点的点G，都有GE＜GO2+EO2＜DO2+EO2=18，
∴线段AB长的最大值为18．
C、∵m，n是正数，证明：≥m2+n2．两边同乘mn，得
m4+n4≥m3n+n3m，m，n＞0
作差得，m4+n4-m3n-n3m=m3（m-n）+n3（n-m）=（m3-n3）（m-n）=（m-n）2（m2+mn+n2）≥0，
∴≥m2+n2．