Question

已知函数f（x）满足：
①定义域为R；
②∀x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|．记．
根据以上信息，可以得到函数φ（x）的零点个数为（ ）
A．15
B．10
C．9
D．8

Answer

根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由∀x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．
【解析】
根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：

 在同一坐标系里作出的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．
所以有8个零点，
∵任意的x，有f（x+2）=2f（x），
∴当x=-1时，f（-1+2）=2f（-1）⇒f（-1）=f（1）=1，满足φ（x）=
而x=0也是函数φ（x）的一个零点，并且当x＜-1时，函数φ（x）没有零点
综上所述，函数φ（x）的零点一共10个
故选B