Question

如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD=60°，再在α的上方，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB=90°．
（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离．

Answer

（Ⅰ）证明BD⊥PQ，利用线面垂直的性质可知，只需证明BD⊥平面PQE，利用△PBD与△QBD是全等等腰△．取BD中点E，连接PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故可证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形，从而可求二面角的大小；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，利用等体积，可求点P到平面QBD的距离．
（Ⅰ）证明：由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，
可知△PBD与△QBD是全等等腰△．…（1分）
取BD中点E，连接PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．
∵PE∩QE=E
∴BD⊥平面PQE，…（3分）
∵PQ⊂平面PQE
∴BD⊥PQ．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，…（5分）
作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，
则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，
从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形． …（6分）
可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=，…（7分）
∴cos∠PEQ=，
即二面角为．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅰ）知BD⊥平面PEQ．
设点P到平面QBD的距离为h，则
又．
∴．
∴．…（12分）