Question

如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer

（1）根据A（0，1）是椭圆C的顶点得a值，根据离心率为，求出b值，从而求椭圆C的方程；
（2）欲求双曲线E的方程，只须求出其实轴长即可，而要使双曲线E的实轴最长，只需||MF1|-|MF2||最大即可，根据对称性知，直线F2F1′与直线l的交点即为所求的点M即能使||MF1|-|MF2||最大，从而问题解决．
【解析】
（1）由题意可知，b=1（1分）
∵e=
即∴a2=5（3分）
∴所以椭圆C的方程为：（4分）
（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，
则可知F1（-2，0），F2（2，0），
直线l方程为：x-y+1=0（6分）
因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，
只需||MF1|-|MF2||最大．
又∵F1（-2，0）关于直线l：x-y+1=0的对称点为F′1（-1，-1），
则直线F2F1′与直线l的交点即为所求的点M（9分）
∵直线F2F1′的斜率为k=，其方程为：y=（x-2）
∴解得
∴M（-，-）（12分）
又2a′=||MF1|-|MF2||=||MF1′|-|MF2||≤|F2F1′|==
∴a′max=，此时b′=，
故所求的双曲线方程为=1．（14分）