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已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n...

已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的两实根,且a1=1.
(1)求证:数列manfen5.com 满分网是等比数列;
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求Sn
(3)问是否存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范围,若不存在,请说明理由.
(1)先根据an,an+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根,得到:,再计算的值,从而得出数列是首项为,公比为-1的等比数列; (2)由(1)得,再利用等比数列的求和公式即可求Sn; (3)由(2)得,要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立,下面对n进行分类讨论:①当n为正奇数时,②当n为正偶数时,分别求得λ的取值范围,最后综上所述得到,存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立,λ的取值范围. 【解析】 (1)证明:∵an,an+1是关于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的两实根, ∴(2分) ∵. 故数列是首项为,公比为-1的等比数列.(4分) (2)由(1)得, 即∴=.(8分) (3)由(2)得 要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立, 即(*)(11分) ①当n为正奇数时,由(*)式得: 即 ∵2n+1-1>0,∴对任意正奇数n都成立, 故为奇数)的最小值为1. ∴λ<1.(13分) ②当n为正偶数时,由(*)式得:,即 ∵2n-1>0,∴对任意正偶数n都成立, 故为偶数)的最小值为. ∴.(15分) 综上所述得,存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立,λ的取值范围为(-∞,1).(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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