Question

如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）线段A₁B上是否存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC？若存在，确定P点的位置，若不存在，说明理由；
（2）点P在A₁B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的长；
（3）Q点在对角线B₁D，使得A₁B∥平面QAC，求．

Answer

（1）线段A1B上不存在一点P，使得A1B⊥平面PAC．用反证明法进行证明．
（2）作出平面角∠BHC，由，知∠HAB=30°，在△ABP中用正弦定理可得BP=．
（3）A1B∥平面D1AC，Q是B1D与平面ACD1的交点，△B1D1Q∽△DOQ，由此能求出．
【解析】
（1）线段A1B上不存在一点P，使得A1B⊥平面PAC．
理由如下：
假设线段A1B上是否存在一点P，使得A1B⊥平面PAC．
结AC，则AC⊥A1B．
∵AA1⊥AC，
∴AC⊥面AA1B1B，
∴AC⊥AB，与∠BAC=45°矛盾．
∴线段A1B上不存在一点P，使得A1B⊥平面PAC．
（2）∵CB⊥平面ABP，作BN⊥AP，交AH延长线与H，连接CH，
则∠BHC是二面角二面角C-AP-B平面角…（6分）
∵二面角C-AP-B的大小是arctan2，
∴tan∠BHC=，即，
∴∠HAB=30°…（8分）
在△ABP中，
∠PAB=30°，AB=1，∠PBA=45°，
∴∠APB=180°-30°-45°=105°，
由正弦定理，得，
∴
==．
∴BP=…（10分）
（3）∵A1B∥平面D1AC，
Q是B1D与平面ACD1的交点，…（12分）
△B1D1Q∽△DOQ，
∴…（14分）．