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椭圆的中心是原点O,它的短轴长为manfen5.com 满分网,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若manfen5.com 满分网,求直线PQ的方程;
(3)设manfen5.com 满分网(λ>1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明manfen5.com 满分网
(1)由题意,可设椭圆的方程为,列出关于a,b的方程组,解出a,b值,从而求得椭圆的方程及离心率;(2)由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为y=k(x-3).将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量垂直条件即可求得k值,从而解决问题. (2)先得出向量的坐标.由已知得方程组解得x2,最后经计算得出即可. (1)【解析】 由题意,可设椭圆的方程为. 由已知得 解得 所以椭圆的方程为,离心率. (2)【解析】 由(1)可得A(3,0). 设直线PQ的方程为y=k(x-3).由方程组 得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0 依题意△=12(2-3k2)>0,得. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,① .② 由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③ ∵,∴x1x2+y1y2=0.④ 由①②③④得5k2=1,从而. 所以直线PQ的方程为或 (3)证明:. 由已知得方程组 注意λ>1,解得 因F(2,0),M(x1,-y1),故=. 而,所以.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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