Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n的表达式．

Answer

（1）在递推关系中，令n=1，求得a1，令n=2，求得 a2的值．
（2）由题设可得得 Sn-1Sn-2Sn+1=0，求得S1，S2，S3 的值，猜测 ，用数学归纳法证之．
【解析】
（1）当n=1时，由已知得．
同理，可解得．
（2）由题设Sn2-2Sn+1-anSn=0，当n≥2（n∈N*）时，an=Sn-Sn-1，
代入上式，得Sn-1Sn-2Sn+1=0．（*）
由（1）可得．由（*）式可得．
由此猜想：（8分）
证明：①当n=1时，结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，
即，那么，由（*）得，∴．
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，对所有正整数n都成立．因．