Question

设函数f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a=2时，是否存在函数y=f（x）图象上两点以及函数y=f'（x）图象上两点，使得以这四点为顶点的四边形ABCD满足如下条件：①四边形ABCD是平行四边形；②AB⊥x轴；③|AB|=4．若存在，指出四边形ABCD的个数；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为在该点处的导数，所以只要求导，再求x=2时的导数，再用点斜式求出直线方程．
（Ⅱ）函数f（x）的极大值和极小值是导数等于0时的x的值，所以只要对函数f（x）求导，再令导数等于0，解出x的值，为极值点，再列表判断极值点两侧导数的正负，若左正右负，为极大值，若左负右正，为极小值．
（Ⅲ）先假设存在函数y=f（x）图象上两点以及函数y=f'（x）图象上两点满足条件，再根据这几个条件计算即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x3+x2+x+1，得f（2）=-1，且f'（x）=-3x2+2x+1，f'（2）=-7．
所以，曲线f（x）=-x3+2x2-x+1在点（2，f（2））处的切线方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．
（Ⅱ）【解析】
f（x）=-x3+ax2+a2x+1，f'（x）=-3x2+2ax+a2=-（3x+a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x a （a，+∞）
f'（x） - + -

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=1+a3．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x （-∞，a） a
f'（x） - + -

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=1+a3；
函数f（x）在处取得极大值，且．
（Ⅲ）若存在满足题意的四边形ABCD，则方程|f（x）-f'（x）|=4至少有两个相异实根，且每个实根对应一条垂直于x轴且与f（x）、f'（x）图象均相交的线段，这些线段长度均相等．f（x）=-x3+2x2+4x+1，f'（x）=-3x2+4x+4=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f'（x）|=|-x3+2x2+4x+1-（-3x2+4x+4）|=|x3-5x2+3|=4
x3-5x2+3=4时，x3-5x2-1=0，令g（x）=x3-5x2-1，g'（x）=3x2-10x
令g'（x）=0，得x=0或

x （-∞，0）
g'（x） + - +

由表格知，g（0）为g（x）的极大值，为g（x）的极大值，而g（0）=-1＜0，，故g（x）的图象与x轴有且只有一个交点，g（x）有且只有一个零点．
x3-5x2+3=-4时，x3-5x2+7=0，令g（x）=x3-5x2+7，g'（x）=3x2-10x，
由知g（0）为g（x）的极大值，为g（x）的极大值，而g（0）=7＞0，，故g（x）的图象与x轴有三个交点，g（x）有三个零点．
由知，方程|x3-5x2+3|=4有四个不同的实根，从小到大依次记为x1、x2、x3、x4，这四个根对应的四条线段中的每两条对应一个平行四边形ABCD，共有（x1、x2），（x1、x3），（x1、x4），（x2、x3），（x2、x4），（x3、x4）6个，所以满足题意的平行四边形ABCD有6个．