Question

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R．定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到k∈N，使得a_k大于2010．

Answer

（1）由函数f（x）=x2+1，通过an+1=f（an），依次求解a2，a3，a4．
（2）假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列；由（1）得到a2=f（0）=m，a3=f（m）=m2+m，
a4=f（a3）=（m2+m）2+m．由a2，a3，a4成等差数列，利用等差中项可有2a3=a2+a4，即2（m2+m）=m+（m2+m）2+m，求解然后验证即可．
（3）由＞又，所以令，
再由累加法可有an-a1≥（n-1）d，即an≥（n-1）d，因此只需取正整数，就使得ak大于2010．
【解析】
（1）m=1，f（x）=x2+1
因为a1=0，所以a2=f（0）=1，
a3=f（1）=12+1=2，
a4=f（a3）=（2）2+1=5．（4分）
（2）假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．
由（1）得到a2=f（0）=m，a3=f（m）=m2+m，a4=f（a3）=（m2+m）2+m．
因为a2，a3，a4成等差数列，
所以2a3=a2+a4，（6分）
所以，2（m2+m）=m+（m2+m）2+m，
化简得m2+（m2+2m-1）=0，
解得m=0（舍），m=-1±．（8分）
经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0，
所以存在m=-1±，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列（9分）
（3）因为，
又m＞，所以令d=m-＞0．
由an-an-1≥d，
an-1-an-2≥d，
…
a2-a1≥d
将上述不等式全部相加得an-a1≥（n-1）d，即an≥（n-1）d，
因此只需取正整数k＞+1，就有．（14分）