Question

一个三棱锥S-ABC的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
（3）求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer

（1）由已知中的三视图，我们可以判断出已知三棱锥B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，进而我们求出底面ABC的面积和高SO的长，代入棱锥体积公式即可得到答案．
（2）解法一：以O为原点，OA为x轴，过O且平行于BD的直线为y轴，OS为z轴，建立如图空间直角坐标系，求出面SAB的一个法向量，代入公式，即可求出点C到平面SAB的距离；
解法二：设点C到平面SAB的距离为d，由三棱锥S-ABC的体积，即可得到点C到平面SAB的距离；
（3）解法一：求出平面ABC一个法向量，结合（2）中面SAB的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角S-AB-C的余弦值．
解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，则OE⊥AB，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO为二面角S-AB-C的平面角．解Rt△SEO即可得到到二面角S-AB-C的余弦值．
【解析】
（1）由正视图、俯视图知AC=4；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则BD=3，BD⊥平面SAC，BD⊥AC；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则SO=2，SO⊥平面ABC，SO⊥AC．如图．
三棱锥S-ABC的体积．
（2）解法一：
以O为原点，OA为x轴，过O且平行于BD的直线为y轴，OS为z轴，建立如图空间直角坐标系，可求S（0，0，2）A（3，0，0）B（1，3，0），，
设是平面SAB的一个法向量，则，取，
可知，设点C到平面SAB的距离为d，
则．
（2）解法二：可求，，，
△SAB的面积，
设点C到平面SAB的距离为d，
由三棱锥S-ABC的体积，
得．
（3）解法一：可知是平面ABC一个法向量，故，
二面角S-AB-C的余弦值为．
（3）解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，则OE⊥AB，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO为二面角S-AB-C的平面角．
△ABC中，易求，
由△ABC的面积，，，
△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故，Rt△SEO中，，
故，二面角S-AB-C的余弦值为．