Question

已知点F₁（0，-1）和抛物线C₁：x²=2py的焦点F关于x轴对称，点M是以点F为圆心，4为半径的⊙F上任意一点，线段MF₁的垂直平分线与线段MF交于点P，设点P的轨迹为曲线C₂，
（1）求抛物线C₁和曲线C₂的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l分别与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，若存在，求出所有这样的直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线C1：x2=2py的焦点F的坐标为F（0，1），则，所以抛物线C1的方程为x2=4y，由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，而线段MF1的垂直平分线与线段MF交于点P，则|MP|=|PF1|因此，|PF1|+|PF|=4，且4＞|FF1|=2，由此能求出曲线C2的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线，与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，若l与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，由此能求出存在四条直线，y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点．
【解析】
（1）依题意，抛物线C1：x2=2py的焦点F的坐标为F（0，1），
则，
所以抛物线C1的方程为x2=4y，
由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，
而线段MF1的垂直平分线与线段MF交于点P，
则|MP|=|PF1|，
因此，|PF1|+|PF|=4，
且4＞|FF1|=2，则点P的轨迹C2为以F1、F为焦点的椭圆，
设C2的方程为，
则2a=4，且a2-b2=1，解得a2=4，b2=3，
所求曲线C2的方程为
（2）若直线l的斜率不存在，
则直线，与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，
若直线l斜率存在，设其方程为y=kx+m，
若l与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，
则及均只有一组解，
由消去y得 x2-4kx-4m=0，
则△=16k2+16m=0①
由消去y得 （4+3k2）x2+6kmx+3m2-12=0，
则△=36k2m2-4（3m2-12）（3k2+4）=0，
即m2-3k2-4=0②
由①②得m=-4，k=±2，
即存在直线y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点，
综上：存在四条直线，y=±2x-4与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点．