Question

已知椭圆的右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程．

Answer

（1）抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，设点P的坐标为（x，y），依据抛物线的定义，由，可求x．由点P在抛物线C2上，且在第一象限可求点P的坐标，再由点P在椭圆上及c=1，a2=b2+c2=b2+1，可求a，b，从而可求椭圆的方程
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），则由，可得x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．利用设而不求的方法可得，设FR的中点为Q，则Q的坐标为．由M、N、Q、A四点共线可得整理可得
（1）【解析】
抛物线C2：y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，
设点P的坐标为（x，y），依据抛物线的定义，由，得1+x=，解得．
∵点P在抛物线C2上，且在第一象限，∴，解得．
∴点P的坐标为．
∵点P在椭圆上，∴．
又c=1，且a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3．
∴椭圆C1的方程为．
（2）【解析】
设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），
则．
∴．
∵，
∴x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．①
∵M、N在椭圆C1上，∴．
上面两式相减得．②
把①式代入②式得．
当x1≠x2时，得．③
设FR的中点为Q，则Q的坐标为．
∵M、N、Q、A四点共线，∴kMN=kAQ，即．④
把④式代入③式，得，化简得4y2+3（x2+4x+3）=0．
当x1=x2时，可得点R的坐标为（-3，0），
经检验，点R（-3，0）在曲线4y2+3（x2+4x+3）=0上．
∴动点R的轨迹方程为4y2+3（x2+4x+3）=0．