Question

设函数为自然对数的底数）．
（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：对于大于1的正整数n，恒有成立．

Answer

（1）x≥0时，f（x）≥0恒成立，故可求出函数在x≥0上的最小值，令最小值大于等于0，从而得到关于参数的不等式，解出a的取值范围；
（2）借助（1）的证明结论，对于x∈（0，1），当a=0时，f（x）＜0，所以x+1＜ex，当a=2时，f（x）＞0，所以，得出，x+1＜ex．再将x替换为即可得到
【解析】
（1），
]∵x≥0，
∴ex≥1，．
①若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＜0，不合题意，应舍去．
②若0＜a＜1，则当x∈（0，-lna）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）=0，
从而当x∈（0，-lna）时，f（x）＜0，不合题意，应舍去．
③若a≥1，则当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，而f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＞0，所以当x≥0时，f（x）≥0恒成立．
综上，a的取值范围为[1，+∞）．
（2）证明：由（1）知，对于x∈（0，1），当a=0时，f（x）＜0，所以x+1＜ex，
而当a=2时，f（x）＞0，所以，
从而x∈（0，1）时，x+1＜ex．
取，则．