Question

已知函数f（x）=lg
（Ⅰ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并予以证明．

Answer

（I）将a与b代入函数f（x）=lg，求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论；
（II）先求函数的定义域，然后判定f（-x）与-f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义进行判定即可．
【解析】
（I）证明：∵f（x）=lg
∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg=lg
f（）=lg=lg
∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）；
（II）函数f（x）=lg的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=lg=lg=-lg=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数．