Question

对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值．

Answer

（1）根据题意写出符合题意的式子．
（2）依题意得{an}是公比数为2的等比数列，计算出数列{an}的前n项和Sn
（3）根据题意计算出数列{bn}的通项公式，计算出数列{bn}前n项的积为Tn，当数列{bn}前n项的积最大时n的值．
【解析】
（Ⅰ）如an=n2．（答案不惟一，结果应为an=An2+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依题意an+1-an=2n，n=1，2，3，
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+2n-3++2=2n．（5分）
从面{an}是公比数为2的等比数列，
所以（7分）
（Ⅲ）由anbnbn+1=-21•2n及an-1bn-1bn=-21•2n，两式相除得，
所以数列{b2n-1}，{b2n}分别是公比为的等比数列
由b4=-7得b2=-14．
令n=1，由a1b1b2=-21•2n得b1=3•26．
所以数列{bn}的通项为（10分）
②记数列{bn}前n项的积为Tn．
令，
即
所以当n是奇数时，|b1b2|＞1，|b3b4|＞1，，|b11b12|＞1，|b13b14|＜1，|b15b16|＜1，
从而|T2|＜|T4|＜|T12|，|T12|＞|T14|＞．
当n是偶数时，|b2b3|＞1，|b4b5|＞1，，|b12b13|＞1，|b14b15|＜1，|b16b17|＜1，
从而|T1|＜|T3|＜|T13|，|T13|＞|T15|．
注意到T12＞0，T13＞0，且T13=b13T12=3T12＞T12，
所以当数列{bn}前n项的积Tn最大时n=13．（14分）