Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，
又∠PDA为45°
（1）求证：AF∥平面PEC
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD．

Answer

（1）AF∥平面PEC⇐取PC中点G，AF∥GE⇐四边形AEGF为平行四边形⇐AE∥GF且AE=GF⇐AE∥CD∥GF，AE=GF=CD
（2）平面PEC⊥平面PCD⇐EG⊥平面PCD⇐AF∥EG且AF⊥平面PCD⇐AF⊥PD且CD⊥AF⇐CD⊥平面PAD⇐CD⊥AD，CD⊥PA⇐PA⊥平面ABCD
证明（1）取PC中点G，连接EG，FG，
∵F为PD的中点，∴GF∥CD且GF=CD
∵ABCD是矩形，又E为AB中点，∴AE∥CD且AE=CD，
∴AE∥GF且AE=GF∴四边形AEGF为平行四边形
∴AF∥GE，且AF⊈平面PEC，GE⊆平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊆平面PAD，∴CD⊥AF，
∵∠PDA=45°∴F为Rt△PAD斜边PD的中点，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
由（1）知AF∥EG．∴EG⊥平面PCD，
又∵EG⊆平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．