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已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,)...

已知F1,F2是椭圆manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,manfen5.com 满分网)在椭圆上,且manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=0,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=λ,且满足manfen5.com 满分网≤λ≤manfen5.com 满分网时,求弦长|AB|的取值范围.
(1)依题意,易得PF1⊥F1F2,进而可得c=1,根据椭圆的方程与性质可得+=1,a2=b2+c2,联立解可得a2、b2、c2的值,即可得答案; (2)根据题意,直线l与⊙x2+y2=1相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径1,即=1,变形为m2=k2+1,联立椭圆与直线的方程,即,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,设由直线l与椭圆交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则△>0,解可得k≠0,可得x1+x2=-,x1•x2=-,进而将其代入y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)可得y1•y2关于k的表达式,又由=x1•x2+y1•y2==,结合题意≤λ≤,解可得≤k2≤1,根据弦长公式可得|AB|=2,设u=k4+k2(≤k2≤1),则≤u≤2,将|AB|用u表示出来,由u[,2]分析易得答案. 【解析】 (1)依题意,由•=0,可得PF1⊥F1F2, ∴c=1, 将点p坐标代入椭圆方程可得+=1,又由a2=b2+c2, 解得a2=2,b2=1,c2=1, ∴椭圆的方程为+y2=1. (2)直线l:y=kx+m与⊙x2+y2=1相切,则=1,即m2=k2+1, 由直线l与椭圆交于不同的两点A、B,设A(x1,y1),B(x2,y2), 由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, △=(4km)2-4×(1+2k2)(2m2-2)>0,化简可得2k2>1+m2, x1+x2=-,x1•x2=-, y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2==, =x1•x2+y1•y2==, ≤≤,解可得≤k2≤1,(9分) |AB|==2 设u=k4+k2(≤k2≤1), 则≤u≤2,|AB|=2=2,u[,2] 分析易得,≤|AB|≤.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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