Question

椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求的取值范围；
（3）设圆Q：（x-t）²+y²=1（t＞4）与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT，切点为S，T，求的最大值．

Answer

（1）由题意知c=2，，由此得a2=16，b2=12，从而能够得到所求椭圆方程．
（2）设P点横坐标为x，则，由-4＜x≤4，知，由此能得到的取值范围．
（3）由题意得圆心Q为（5，0），设BQ=x，则===，由此能得到的最大值．
【解析】
（1）由题意得，c=2，得，a2=16，b2=12，
∴所求椭圆方程为；（4分）
（2）设P点横坐标为x，则，
∵-4＜x≤4，∴．
∴的取值范围是；（9分）
（3）由题意得，t=5，即圆心Q为（5，0），
设BQ=x，则
=
=
=，
∵1＜BQ≤9，即1＜x≤9，∴1＜x2≤81，
易得函数y=在上单调递减，在上单调递增，
∴x2=81时，．（14分）