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选修4-1:几何证明选讲 如图:⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长...

选修4-1:几何证明选讲
如图:⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F.
(1)判断BE是否平分∠ABC,并说明理由
(2)若AE=6,BE=8,求EF的长.

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(1)BE平分∠ABC.由已知中边的相等,可得∠CAD=∠D,∠ABC=∠ACB,再利用同弧所对的圆周角相等,可得∠CAD=∠D=∠DBE,即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D,利用等量减等量差相等,可得∠EBD=∠D=∠ABE,故得证. (2)由(1)中的所证条件∠ABE=∠FAE,再加上两个三角形的公共角,可证△BEA∽△AEF,利用比例线段可求EF. 【解析】 (1)BE平分∠ABC; 证明:∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC ∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…(2分) 又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC, ∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC;…(5分) (2)连接EC,由(1)BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点 ∴AE=EC=6 又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…(7分) ∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF ∴△AEF∽△DEC ∴∴…(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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