Question

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（Ⅰ）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（Ⅱ）求证：．

Answer

（Ⅰ）根据（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，可得 a2+b2+c2 的最小值为．
（Ⅱ）由a，b，c均为正实数，可得，同理，
，相加可得不等式成立．
【解析】
（Ⅰ）因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，当且仅当 时等号成立，
∴a2+b2+c2 的最小值为． …5分
证明：（Ⅱ）∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a=b时等号成立；
则，当且仅当b=c时等号成立；
，当且仅当c=a时等号成立；
三个不等式相加得，，
当且仅当a=b=c时等号成立．…10分