Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由．
第一组：；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）设，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
（3）设，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x₁，x₂且x₁+x₂=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）化简h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），使得与相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．
（2）设，生成函数化简不等式h（4x）+t•h（2x）＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求的最大值，即可．
（3）由题意得，，则，由于生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．故，可求得所以函数．假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．即有，从而转化为求u的最小值即可．
【解析】
（1）①设，即
取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．
②设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2-x+1，则，该方程组无解．
所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．…（4分）
（2）h（4x）+t•h（2x）＜0，即log2（4x）+t•log2（2x）＜0
所以，（2+log2x）+t（1+log2x）＜0．因为x∈[2，4]，所以1+log2x∈[2，3]
则，函数在[2，4]上单调递增，所以
故． …（10分）
（3）由题意得，，则，
故，解得所以． …（12分）
假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．
于是设=
=
设t=x1x2，则，即
设
因为，所以，在上单调递减，从而
故存在最大的常数m=289…（16分）