Question

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）设x为f（x）的一个极值点，证明．

Answer

（1）由f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx，能够证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx．
（2）由f'（x）=Sinx+xSinx得：f'（x）=Sinx+xSinx=0，由Sin2x+cos2x=1联立得：，由此能够证明．
【解析】
（1）f（x+2kπ）-f（x）
=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx
=（x+2kπ）Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…（6分）
（2）由f'（x）=sinx+xcosx，
得：f'（x）=sinx+xcosx=0…（8分）
又sin2x+cos2x=1联立，
得：…（12分）
∴[f（x）]2=x2Sin2x==…（14分）