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已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x. (Ⅰ)若f(x)在x=1处取得...

已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
(I)先求函数的定义域,然后求出导函数,根据f(x)在x=1处取得极值,则f'(1)=0,求出a的值,然后验证即可; (II)先求出a的范围,然后利用导数研究函数的单调性,当时,f(x)在[a2,a]单调递增,则fmax(x)=f(a),当时,f(x)在单调递增,在单调递减,fmax(x)=f(),当,即时,f(x)在[a2,a]单调递减,则fmax(x)=f(a2),从而求出所求. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).            …(1分) ∴.     …(3分) ∵f(x)在x=1处取得极值, 即f'(1)=-(2-1)(a+1)=0, ∴a=-1.                                                         …(5分) 当a=-1时,在内f'(x)<0,在(1,+∞)内f'(x)>0, ∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.                      …(6分) (Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1.                                             …(7分) ∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0, ∴f(x)在上单调递增;在上单调递减,…(9分) ①当时,f(x)在[a2,a]单调递增, ∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a;                               …(10分) ②当,即时,f(x)在单调递增,在单调递减, ∴;                    …(11分) ③当,即时,f(x)在[a2,a]单调递减, ∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.                            …(12分) 综上所述,当时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a; 当时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是; 当时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2. …(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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