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如图,已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°...

如图,已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,点P是AD1上的动点.
(1)试求四棱锥P-A1B1C1D1体积的最大值;
(2)试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1?并证明你的结论.

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(1)由棱锥的体积公式,由底面A1B1C1D1的面积固定,则四棱锥P-A1B1C1D1的高取最大值时,四棱锥P-A1B1C1D1体积取最大值,结合P是AD1上的动点,易得当P与A重合时满足条件,代入棱锥的体积公式,即可求出答案. (2)由题意知,B1A1⊥A1D1,B1A1⊥A1A,由线面垂直的判定定理,可得B1A1⊥平面AA1D1,进而由面面垂直判定得到平面B1PA1垂直于平面AA1D1. 【解析】 (1)∵ABCD-A1B1C1D1是长方体∴侧面AA1D1⊥底面A1B1C1D1 ∴四棱锥P-A1B1C1D1的高为点P到平面A1B1C1D1的距离 当点P与点A重合时,四棱锥P-A1B1C1D1的高取得最大值,这时四棱锥P-A1B1C1D1体积最大, 在 Rt△AA1D1中∵∠AD1A1=60° ∴,A1D1=AD1cos60°=2, ∴()max=••AA1= (2)不论点P在AD1上的任何位置,都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1.证明如下: 由题意知,B1A1⊥A1D1,B1A1⊥A1A, 又∵AA1∩A1D1=A1 ∴B1A1⊥平面AA1D1 又A1B1⊂平面B1PA1 ∴平面B1PA1⊥平面AA1D1.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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