Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）设点P在抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．

Answer

（I）根据题意，求出a，b的值，然后得出椭圆的方程．
（II）设出M，N，P的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据△判断最值即可．
【解析】
（I）由题意得，∴，
所求的椭圆方程为，
（II）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，
直线MN的方程为y=2tx-t2+h，将上式代入椭圆C1的方程中，
得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0，
即4（1+t2）x2-4t（t2-h）x+（t2-h）2-4=0，
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以有△1=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4]＞0，
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则，
设线段PA的中点的横坐标是x4，
则，由题意得x3=x4，
即有t2+（1+h）t+1=0，
其中的△2=（1+h）2-4≥0，∴h≥1或h≤-3；
当h≤-3时有h+2＜0，4-h2＜0，
因此不等式△1=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4]＞0不成立；
因此h≥1，当h=1时代入方程t2+（1+h）t+1=0得t=-1，
将h=1，t=-1代入不等式△1=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4]＞0成立，因此h的最小值为1．