Question

“a=1”是“函数f（x）=x³+ax²+ax+1没有极值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

函数f（x）=x3+ax2+ax+1在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为 f′（x）=x2+ax+，故判别式△≤0，解不等式求得实数a的取值范围．最后再看与“a=1”的关系即得．
【解析】
函数f（x）=x3+ax2+ax+1在R上没有极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
函数f（x）=x3+ax2+ax+1 的导数为 f′（x）=x2+ax+，
∴△=a2-2a≤0，∴0≤a≤2，
由于“a=1”⇒“0≤a≤2”；反之不成立．
故“a=1”是“函数f（x）=x3+ax2+ax+1没有极值”的充分不必要条件．
故选A．