Question

函数f（x）的定义域为R，对任意实数x满足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），当1≤x≤2时，f（x）=x²，则f（x）的单调减区间是（ ）
A．[2k，2k+1]（k∈Z）
B．[2k-1，2k]（k∈Z）
C．[2k，2k+2]（k∈Z）
D．[2k-2，2k]（k∈Z）

Answer

根据对任意实数x满足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当1≤x≤2时，f（x）=x2可得函数的单调性，故可求得R上函数的单调减区间．
【解析】
∵对任意实数x满足f（x-1）=f（3-x），且f（x-1）=f（x-3），
∴f（3-x）=f（x-3），
∴函数f（x）是偶函数，x=1是一条对称轴，周期函数，周期为2．
又∵1≤x≤2时，f（x）=x2
∴函数f（x）在区间[1，2]上单调递增．
∴函数f（x）在区间[0，1]上单调递减．
∴f（x）的单调减区间是[2k，2k+1]（k∈Z）．
故选B．