Question

已知直线与曲线相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有两个解x₁，x₂．
求：①m的取值范围     ②比较x₁x₂+9与3（x₁+x₂）的大小．

Answer

（1）先求出导函数f'（x），设出切点（x，y），然后根据在x=x的导数等于切线的斜率，切点在切线和函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出b的值；
（2）①构造函数 ，利用导数研究函数h（x）的单调性，转化成使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，建立关系式，解之即可求出m的范围．②做差比较较x1x2+9与3（x1+x2）的大小．
【解析】
（1）∵，∴f'（x）=x2-b
设切点为（x，y），依题意得
解得：b=3
（2）设
则h'（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）．
1令h'（x）=023，得x=-14或x=35在（0，3）6上，h'（x）＜07，
故h（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上，h'（x）＞0，
故h（x）在（3，+∞）上单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需，∴-9＜m＜0
此时存在x＞3时，h（x）＞0，例如当x=5时，．
∴①所求m的范围是：-9＜m＜0．
②由①知，方程f（x）=x2+m2在（0，+∞）3上有两个解x1，x2，
满足0＜x1＜3，x2＞3，x1x2+9-3（x1+x2）=（3-x1）（3-x2）＜0，
x1x2+9＜3（x1+x2）．