Question

已知函数f（x）=x²-2x-3，x∈[0，1]，g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的值域M；
（2）若a≥1，求g（x）的值域N；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的x∈[0，1]，总存在x∈[0，1]使得f（x₁）=g（x），求a的取值范围．

Answer

（1）求出函数f（x）d的对称轴，判断出函数f（x）的单调性，进一步求出f（x）的最值即值域．
（2）求出函数g（x）的导函数，判断出导函数的符号，得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的值域；
（3）将已知条件对任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]使f（x1）=g（x）转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．
【解析】
（1）∵f（x）=（x-1）2-4，x∈[0，1]
所以f（x）在[0，1]单调递减，
所以当x=0时函数最大为-3，当x=1时函数最小为-4
故f（x）值域为M=[-4，-3]（4分）
（2）∵g′（x）=3x2-3a2=3（x2-a2）
∵x∈[0，1]a≥1
∴x2-a2≤0即g′（x）≤0
∴g′（x）=x2-3a2x-2a在[0，1]上单调递减
故g（x）的值域为N=[1-2a-3a2，-2a]（8分）
（3）∵对任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]使f（x1）=g（x）
∴M⊆N
∴
即
又∵a≥1
∴（13分）