Question

已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1+4，a₁₈+a₂₀=12，等比数列{b_n}的首项为2，公比为q．
（Ⅰ）若q=3，问b₃等于数列{a_n}中的第几项？
（Ⅱ）数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别记为S_n和T_n，S_n的最大值为M，当q=2时，试比较M与T₉的大小．

Answer

（I）根据等比数列的性质求出b3，然后由an=an+1+4，可知{an}是公差d=-4的等差数列，根据a18+a20=12，求出数列的首项和公差，从而求出数列的通项，令an=b3求出n的值，从而得到所求；
（II）根据等比数列的求和公式求出T9，然后根据等差数列的求和公式求出Sn，根据二次函数的性质求出Sn的最大值M，从而得到M与T9的大小．
【解析】
（I）b3=b1q2=18．                                      …（2分）
由an=an+1+4，得an+1-an=-4，即{an}是公差d=-4的等差数列．…（3分）
由a18+a20=12，得a1+18d=6⇒a1=78
∴an=78+（n-1）（-4）=-4n+82
令-4n+82=b3=18，得n=16
∴b3等于数列{an}中的第16项
（II）∵b1=q=2
∴T9==210-2=1022
又Sn=78n+=-2n2+80n=-2（n-20）2+800
∴n=20时，最大值M=800
∴M＜T9