Question

过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得（其中P为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）依题意，得F（-1，0），由此解得a2=2，b2=1，从而能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，由△=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，知，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由P为MN的中点，且|FP|=|MN|，知，（1+k2）x1x2+（1+2k2）（x1+x2）+1+4k2=0，由此能导出满足条件的直线存在，并能求出其方程．
【解析】
（Ⅰ）依题意，得F（-1，0），
∴，
解得a2=2，b2=1，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设满足条件的直线l存在，方程为y=k（x+2）（k必存在），
代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，
∵△=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，
∴，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
∵P为MN的中点，且|FP|=|MN|，
∴FM⊥FN，
∴，
∴（x1+1，y1）•（x2+1，y2）
=（1+k2）x1x2+（1+2k2）（x1+x2）+1+4k2=0，
∴，，
满足，
∴满足条件的直线存在，其方程为．
即满足条件的直线方程为x+2y+2=0或x-2y+2=0．