Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=，PC⊥平面ABCD，点E为AB中点．AC⊥DE，其中AD=1，PC=2，CD=；
（1）求直线PC与平面PDE所成的角；
（2）求点B到平面PDE的距离．

Answer

（1）建立空间坐标系c-xyz，分别求出直线PC的方向向量与平面PDE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线PC与平面PDE所成的角；
（2）根据（1）中平面PDE的法向量，设点B到平面PDE的距离为d，代入点到平面距离公式，即可求出点B到平面PDE的距离．
【解析】
如图建立空间坐标系c-xyz
设BC=a，则A（1，，0），D（0，，0），B（a，0，0），E（，，0），P（0，0，2）
=（1，，0），=，，0）
∵AC⊥DE
∴，即a=2．
∴E（，，0）
设平面PDE的一个法向量=（x，y，z），，，-2），=（，，0），
则，，即，
令x=2，得，z=3，所以=（2，，3）．
设直线PC与平面PDE所成的角为θ
∵=（0，0，2），
∴，==，
∴．
故直线PC与平面PDE所成的角为arccos
（2）=（-2，0，2）
设点B到平面PDE的距离为d，
则=．
即点B到平面PDE的距离为