Question

设f（x）=lnx．
（1）设，求F（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²+3am+4对任意a∈[-1，1]，x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=lnx．，可得F（x）的解析式，及定义域，利用导数法，分别判断F'（x）在各个区间上的符号，即可得到F（x）的单调区间；
（2）根据对数函数f（x）=lnx的单调性，可将不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m2+3am+4化为ln（x+1）≤ln（2x+1）-m2+3am+4，即，求出的最大值为0，结合一次函数的性质，可以构造关于m的不等式组，解不等式组可得m的取值范围．
【解析】
（1），定义域为：（-2，-1）∪（-1，+∞）.．
令F'（x）＞0，得单调增区间（-2，和，+∞），
令F'（x）＜0，得单调增区间，-1）和（-1，．
（2）等式f（x+1）≤f（2x+1）-m2+3am+4化为ln（x+1）≤ln（2x+1）-m2+3am+4，．
现在只需求的最大值和y=3ma+4-m2（a∈[-1，1]）的最小值.在[0，1]上单调递减，所以的最大值为0．
而y=3ma+4-m2（a∈[-1，1]）是关于a的一次函数，
故其最小值只能在x=-1或x=1处取得于是得到
，
，
所以m的取值范围是：[-1，1]．