Question

已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x²-7x+y²+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；
（1）求曲线E的方程；
（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点  （，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E的方程
（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα-3cosα）t+n2-3m=0，由韦达定理得，，若使得点  （，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值
【解析】
（1）设P（x，y），圆方程x2-7x+y2+4=0化为标准式：
则有
∴（x-2）2=x2-7x+y2+4，整理可得y2=3x
∴曲线E的方程为y2=3x．
（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）
代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα-3cosα）t+n2-3m=0
由韦达定理得，，==═
令-12n与2n2+6m-9同时为0
得n=0，，此时为定值故存在．