Question

已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a_n}是等差数列，a₃＞0，则f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

Answer

由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．由数列{an}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，知a1+a5＞0，所以f（a1）+f（a5）＞0，f（a3）＞0，由此知f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．
【解析】
∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，
∴取任何x2＞x1，
总有f（x2）＞f（x1），
∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，
∴当x＞0，f（0）＞0，
当x＜0，f（0）＜0．
∵数列{an}是等差数列，
a1+a5=2a3，
a3＞0，
∴a1+a5＞0，
则f（a1）+f（a5）＞0，
∵f（a3）＞0，
∴f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．