Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，，AB=AD=A₁B=2CD，侧面A₁ADD₁为正方形．
（1）求直线A₁A与底面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角C-A₁B-A正切值的大小；
（3）在棱C₁C上是否存在一点P，使得 D₁P∥平面A₁BC，若存在，试说明点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）做出辅助线，根据面面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，得到∠A1AB为直线A1A与平面ABCD所成的角．求出结果
（2）做出辅助线，过O作OH⊥A1B，垂足为H，连接CH．根据OC∥DA，DA⊥平面AA1B1B，得到CO⊥平面AA1B1B．得到∠CHO为二面角C-A1B-A的平面角，在三角形求出角的正切值
（3）结论是存在．当点P为棱C1C中点时，D1P∥平面A1BC．根据线面平行的判定定理整出结论．
【解析】
（1）取AB中点O，连接A1O．设AB=a．∵AD⊥AA1，AD⊥AB，AA1∩AB=A，
∴AD⊥平面AA1B1B，AD⊂而ABCD∴平面AA1B1B⊥平面ABCD．
∵AB=AA1=A1B=a，∴A1O⊥AB，∴A1O⊥平面ABCD．
∴∠A1AB为直线A1A与平面ABCD所成的角．
∵∠A1AB=60°，∴直线A1A与平面ABCD所成角的大小为60°
（2）过O作OH⊥A1B，垂足为H，连接CH．∵OC∥DA，DA⊥平面AA1B1B，
∴CO⊥平面AA1B1B．
∵OH⊥A1B，∴CH⊥A1B．∴∠CHO为二面角C-A1B-A的平面角．
在正△A1AB中，，
在Rt△COH中，．
∴二面角C-A1B-A正切值的大小为．
（3）存在．当点P为棱C1C中点时，D1P∥平面A1BC．
证明如下
延长D1P与DC交于Q，连接BQ，∵点P为棱C1C中点，
∴PC为△D1DQ的中位线．∴QC=DC．
由条件，得四边形ABQD为正方形．
∴BQ=AD=A1D1，且BQ∥AD∥A1D1．
则四边形A1BQD1是平行四边形．
∴D1P∥A1B．∵D1P⊄平面A1BC．A1B⊂平面A1BC．
∴D1P∥平面A1BC．