Question

如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60．，且BD⊥CD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，G，H是DF，BE的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：GH∥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥D-CEF的体积．

Answer

（I）要证明线与面垂直，只要在面上找两条相交直线与这条直线垂直就可以，根据题意选择ED，CD这两条直线，有条件得到线与线垂直，根据线与面垂直的判定定理得到结论．
（II）要证明线与面平行，只要证明在这个平面上有一条直线与直线平行就可以，在三角形中一般有中点找中点，利用中位线平行得到结果，注意指明线不在面上．
（III）要求三棱锥的体积，关键是选择合适的底面，即可以求出面积的底面与高，本题选择了三角形DEF为底面，利用三棱锥的体积公式得到结果．
【解析】
（Ⅰ）证明：平面ADEF⊥ABCD平面，交线为AD
∵ED⊥AD
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BD
又∵BD⊥CD
∴BD⊥平面CDE
（Ⅱ）证明：连接EA，则G是AE的中点
∴△EAB中，GH∥AB
又∵AB∥CD
∴GH∥CD
GH⊊平面CDE平面
∴GH∥平面CDE平面
（Ⅲ）设Rt△BCD中BC边上的高为h
∵
∴
∴点C到平面DEF的距离为
∴VD-CKF=