Question

如图，O是△ABC外任一点，若，求证：G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．

Answer

由题意O是△ABC外任一点，由，利用向量的减法可以等价于：，再有等价条件，利用向量的平行四边形法则及平面图形知识即可求证．
证明：由⇔⇔⇔⇔，
由题意画出简图为：
由于⇔，
在图形中，利用平行四边行法则及两向量的加法原理可知：就是以GA，GB为两相邻边的平行四边形的对角线GD，
由于四边形GADB为平行四边形，所以GD平分AB，即：，所以，∴；
又GD，AB平分，所以点G在三角形ABC的边AB的中线上，
同理点G应该在BC边的中线上，利用重心的定义可知G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．