Question

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当二面角D-EF-B的大小为45°时，求二面角A-EC-F的大小．

Answer

方法一：（1）作EM⊥CF于M，则易知为异面直线AD与EF所成的角，在在RT△EMF中求解．
（2）∠DEC 为二面角D-EF-B的平面角．作BN⊥CE于N，则∠ANB即为二面角A-EC-F的平面角的补角
方法二：（1）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用夹角求出异面直线AD与EF所成的角
（2）利用面ECA的一个法向量与面ECF的一个法向量夹角求出二面角A-EC-F的大小．
【解析】
（方法一）（1）作EM⊥CF于M，则EM∥BC∥AD，
在RT△EMF中，易知四边形BCME为矩形，所以EM=BC=AD=，又EF=2
所以cos∠MEF==，∠MEF=30°，即异面直线AD与EF所成的角为30°．…（5分）
（2）矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∴DC⊥EF，又CE⊥EF，
即∠DEC为二面角D-EF-B的平面角，即∠DEC=45°．
若设EC=x，则在直角三角形CEF中，CE•EF=CF•EM，x•2=，x=．
∴CE=CD=AB=．
作BN⊥CE于N，则∠ANB即为二面角A-EC-F的平面角的补角，

在直角三角形CBE中，CB•BE=CE•BN，且BE=，解得BN=，
∴tan∠ANB=，
∴二面角A-EC-F的大小为．…（12分）
（方法二）
如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系  C-xyz．…（1分）F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1），
由，∴b-c=-1．所以．
所以，…（4分）
所以异面直线AD与EF成30°   …（5分）
（2）当二面角D-EF-B的大小为45，即∠DEC=45°．
设，求得．…（8分）
又因为BA⊥平面BEFC，，所以…（10分）
因为二面角A-EC-F是锐二面角，
所以二面角A-EC-F的大小为…（12分）