Question

已知x轴上有一点列P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，且当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（I）写出a₂，a₃和a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式；
（II）记，证明：．

Answer

（I）由已知Pn-1Pn=（n-1）PnPn+1，令n=2，P1P2=P2P3，故a2=1．同理，，，由此能求出an（n≥2，n∈N*）的表达式．
（II）由，n∈N*，知，当n≥2时，==，由此能够证明．
【解析】
（I）由已知Pn-1Pn=（n-1）PnPn+1，
令n=2，P1P2=P2P3，
∴a2=1．
同理，，
∴，
∴=…==，（n≥2）．
（II）∵，n∈N*，
∴当n=1时，，
当n≥2时，==
==，
∴b1+b2+b3+…+bn
=+…+（）]
=
＜=（n≥2）．
∵，
∴．