Question

如图所示，点A（p，o）（p＞0），点R在y轴上运动，点T在x轴上，N为动点，且．
（I）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（II）设P，Q是曲线C上的两个动点，M（x，y）是曲线C上一定点，若，试证明直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，则T（-x，0），R（0，），由，知，由此能求出点N的轨迹曲线C的方程．
（II）设，则，．由，得PM⊥QM，kMP•kMQ=-1，，由此能推导出直线PQ经过定点（x+4p，-y）．
【解析】
（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，
则T（-x，0），R（0，），
∵，
∴，
整理，得y2=4px（p＞0）．
故点N的轨迹曲线C的方程是y2=4px（p＞0）．
（II）设，
则，
．
由，得PM⊥QM，
∴kMP•kMQ=-1，
∴，
从而（-1）（y+y1）（y+y2）=16p2．
∴（y1+y2）y+y1y2+y2+16p2=0．①
直线PQ的方程为，
即（y1+y2）y-y1y2-4px=0．
①可变为（y1+y2）（-y）-y1y2-4p（x+4p）=0，
∴直线PQ经过定点（x+4p，-y）．