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已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2,e≈2.718285. (I...

已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2,e≈2.718285.
(I)求函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值;
(II)存在x∈[1,e],使得f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围;
(III)证明:对一切x∈(0,+∞),都有manfen5.com 满分网成立.
(I)求导函数f′(x)=lnx+1,令其等于0,则,由于x∈[t,t+1](t>0),故进行分类讨论,即,,从而确定函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值; (II)由题意,并分离参数得xlnx≥-x2+ax-2,,因为存在x∈[1,e],使得f(x)≥g(x)成立,故有 (III)问题等价于证明,分别求左边的最小值,右边的最大值,从而问题得证. 【解析】 (I)f′(x)=lnx+1, 当单调递减, 当单调递增, 所以,即时,; ,即时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt, 综上得 (II)xlnx≥-x2+ax-2,∴ 设, ∴ x∈[1,e],h′(x)≥0,h(x)单调递增, ∴存在x∈[1,e],使得f(x)≥g(x)成立,即 (III)问题等价于证明成立 由(I)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是,当且仅当时取到 设(x∈(0,+∞)) ∴,可解得函数在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数 ∴, 分析可得有-1<-,即(xlnx)min>(-1)max, 则成立; 从而对一切x∈(0,+∞),都有成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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