Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x²+y²的最小值与最大值分别为（ ）
A．13、45
B．9、45
C．13、49
D．9、49

Answer

由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，并且在R上是增函数．进而可得（x-4）2+（y-3）2≤4（y≥3）表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面，再根据x2+y2的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得答案．
【解析】
由题意可得：函数f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
又因为f′（x）=1+cosx≥0，
所以函数f（x）=x+sinx在R上是增函数．
因为f（y2-6y+11）+f（x2-8x+10）≤0，
所以f（y2-6y+11）≤-f（x2-8x+10）=f（-x2+8x-10），
所以y2-6y+11≤-x2+8x-10，即（x-4）2+（y-3）2≤4，
因为y≥3，所以此不等式表示以（4，3）为圆心，以2为半径的上半圆面．
根据x2+y2的几何意义是点（x，y）到原点的距离的平方可得：x2+y2的最小值与最大值分别为13、49．
故选C．